Опубликовано автором admin

[Перевод] Система типов в математике

Время от времени мне встречаются вопросы по математике, которые в каком-то смысле можно назвать «грамматически неверными».

Пример. «Интервал $[0, 1]$ является замкнутым или открытым?»
Пример. «Является ли ${ 1, 2, 3 }$ группой?»
Пример. «Каков ряд Фурье для $sin x + sin pi x$?»

А вот ещё более глупые примеры.

Пример. «Является ли прямоугольник простым?»
Пример. «$17 in 3$?»
Пример. «Каков ряд Фурье для пустого множества?»

Объединяет все эти примеры то, что они являются ошибками типизации: это попытки применения некого математического процесса к математическому объекту, который никак не может быть входными данными для него. Если для ответа на эти вопросы вы попытаетесь написать программу на каком-нибудь высоко математическом языке программирования, то она (я надеюсь!) не скомпилируется.

Математические объекты обычно не воспринимаются явно как имеющие типы в том же смысле, что и объекты в языках программирования с системой типов. Предполагается, что обычная математика должна формализироваться в системе Цермело — Френкеля (ZF), возможно, с аксиомой выбора, а в ZF каждый математический объект конструируется как множество. В этом смысле все эти объекты имеют одинаковый тип. (В частности, вопрос «$17 in 3$» вполне логичен в ZF! И это одна из причин, по которой стоит не любить ZF в качестве основы для математики.) Однако, мне кажется, что на практике математические объекты неявно воспринимаются, как имеющие типы, и такой образ мышления математики усваивают, но не часто обсуждают.
Читать дальше →
[Перевод] Система типов в математике
Source: habrahabr