Новый способ введения экспоненты

В статье предложен новый весьма необычный способ определения экспоненты и на основе этого определения выведены её основные свойства.

Каждому положительному числу $a$

поставим в соответствие множество $E_a=left{x:x=left(1+a_1right)left(1+a_2right)ldots left(1+a_kright)right.$ , где $a_1,a_2,ldots ,a_k>0$

Лемма 1. Из следует, что для каждого элемента найдётся элемент такой, что .

Будем писать $Aleq c$ , если $c$ верхняя граница множества $A$ . Аналогично, будем писать $Ageq c$ , если $c$ — нижняя граница множества $A$ .

Лемма 2. Если , то $left(1+a_1right)left(1+a_2right)ldots left(1+a_kright)geq 1+a_1+a_2+text{...}+a_k$ .

Проведём рассуждение по индукции.

Для $k=1$ утверждение очевидно: $1+a_1geq 1+a_1$ .

Пусть $left(1+a_1right)ldots left(1+a_iright)geq 1+a_1+ldots +a_i$ для $1<i<k$ .

Тогда $left(1+a_1right)ldots left(1+a_iright)left(1+a_{i+1}right)geq 1+a_1+ldots +a_i+left(1+a_1+ldots +a_iright)a_{i+1}geq$

$geq 1+a_1+ldots +a_i+a_{i+1}$ .

Лемма 2 доказана.

В дальнейшем мы покажем, что каждое множество $E_a$ ограничено. Из леммы 2 следует, что